Modul Ajar Matematika Kelas 11 Bab 1: Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

INFORMASI UMUM

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. TP 11.1.1 Menentukan komposisi fungsi menggunakan fungsi yang sesuai
2. TP 11.1.2 Menentukan fungsi invers menggunakan fungsi yang sesuai
3. TP 11.1.3 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan komposisi fungsi
4. TP 11.1.4 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi invers

PROFIL LULUSAN

PERTANYAAN PEMANTIK

1. Jika sebuah nilai dimasukkan ke dalam suatu rumus fungsi linear, lalu hasilnya langsung dimasukkan ke dalam rumus fungsi linear lainnya, bagaimana bentuk aturan fungsi gabungan yang terbentuk?
2. Apakah hasil operasi penggabungan dua fungsi linear f(g(x)) akan selalu sama dengan g(f(x))?
3. Bagaimana bentuk rumus fungsi yang dihasilkan jika fungsi linear f(x) = 2x + 1 disubstitusikan ke dalam fungsi kuadrat g(x) = x² - 3?
4. Apakah daerah asal (domain) dari hasil komposisi (f ∘ g)(x) selalu sama dengan daerah asal fungsi aslinya?
5. Jika kita memiliki tiga proses perhitungan berurutan f, g, dan h, apakah hasil pengelompokan operasi (f ∘ g) ∘ h akan selalu menghasilkan rumus fungsi yang sama dengan f ∘ (g ∘ h)?
6. Bagaimana aturan aljabar pembentukan komposisi diterapkan secara bertahap saat melibatkan tiga fungsi sekaligus?
7. Jika sebuah toko memberikan diskon 20% kemudian memberi kupon potongan tunai Rp10.000, bagaimana urutan perhitungan memengaruhi total biaya yang harus dibayar?
8. Bagaimana kita menggabungkan dua aturan tarif bertahap (misalnya biaya per kilometer ojek daring dan biaya layanan aplikasi) menjadi satu fungsi biaya tunggal?
9. Bagaimana pabrik pengolahan makanan menghitung total hasil kemasan akhir secara langsung jika proses pengolahan bahan mentah melewati dua mesin yang berbeda karakteristik operasinya?
10. Mengapa proses bertahap yang melibatkan fungsi linear pada tahap penyortiran dan fungsi kuadrat pada tahap pencetakan dapat digabung menjadi satu model matematika tunggal?
11. Jika sebuah mesin fungsi mengubah angka x menjadi 2x + 3, operasi apa saja dan dengan urutan bagaimana yang harus kita lakukan untuk mengembalikan hasilnya ke angka x semula?
12. Bagaimana langkah aljabar yang sistematis untuk menentukan rumus fungsi kebalikan (invers) dari suatu fungsi linear f(x) = ax + b?
13. Mengapa fungsi kuadrat f(x) = x^2 dengan domain seluruh bilangan real tidak memiliki fungsi invers?
14. Bagaimana cara membatasi daerah asal fungsi kuadrat agar memiliki fungsi invers yang valid?
15. Jika rumus konversi suhu dari Celcius ke Fahrenheit adalah F = (9/5)C + 32, bagaimana cara langsung menentukan derajat Celcius jika yang diketahui adalah derajat Fahrenheit?
16. Sebuah toko menerapkan diskon tetap dan biaya penanganan linear pada harga barang; bagaimana kita menyusun fungsi pembalik untuk menghitung label harga awal jika total tagihan akhir sudah diketahui?
17. Jika sebuah pabrik mengetahui formula jumlah barang jadi dari bahan baku, bagaimana formula matematika untuk menghitung kebutuhan bahan baku jika jumlah pesanan barang jadi telah ditentukan?
18. Mengapa proses pembalikan target produksi dalam industri nyata dapat dimodelkan menggunakan fungsi invers?
19. Bagaimana operasi aljabar komposisi dan invers fungsi membantu kita menyelesaikan persoalan perhitungan bertingkat secara sistematis?
20. Mengapa proses pembalikan fungsi (invers) sangat penting dalam menganalisis kembali kondisi awal dari suatu hasil produksi atau biaya?

KEGIATAN PEMBELAJARAN

Pertemuan 1 — Menentukan Komposisi Dua Fungsi Linear Menggunakan Aturan Operasi Komposisi — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.1 Menentukan komposisi fungsi menggunakan fungsi yang sesuai

Pendahuluan:

• Guru membuka kelas dengan salam, memeriksa kesiapan belajar, dan menyampaikan tujuan pembelajaran yaitu menentukan rumus komposisi dua fungsi linear menggunakan aturan operasi komposisi (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal diagnostik singkat secara tertulis menggunakan 2 butir soal substitusi aljabar fungsi linear: (1) Jika f(x) = 2x + 3, tentukan nilai f(4); (2) Jika f(x) = 2x + 3, tentukan bentuk f(a + 1). Guru memeriksa langsung jawaban murid (acuan: butir 1 menghasilkan 2(4) + 3 = 11; butir 2 menghasilkan 2(a + 1) + 3 = 2a + 2 + 3 = 2a + 5) (10 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Guru menyajikan konsep dasar notasi komposisi fungsi (f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x)) melalui analogi diagram panah berantai dua tahap pada papan tulis (15 menit).
• Murid menyimak pemodelan cara menentukan rumus komposisi dua fungsi linear f(x) = 3x - 2 dan g(x) = 2x + 5 dengan teknik substitusi bentuk aljabar fungsi bagian dalam ke fungsi bagian luar (acuan langkah: (f o g)(x) = f(g(x)) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13; sedangkan (g o f)(x) = g(f(x)) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1) (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid berpasangan mengikuti kuis tantangan berpasangan 'Estafet Aljabar' yang menyenangkan: murid A menentukan (f o g)(x) dan murid B menentukan (g o f)(x) secara bergantian pada 2 pasangan fungsi linear berikut: Pasangan 1: f(x) = 4x + 1 dan g(x) = x - 3; Pasangan 2: f(x) = -2x + 5 dan g(x) = 3x - 1 (30 menit).
• Murid mengerjakan Lembar Latihan Terbimbing secara mandiri yang berisi 3 butir soal penentuan rumus komposisi fungsi: Soal 1: Diberikan f(x) = 2x + 7 dan g(x) = 5x - 4, tentukan rumus (f o g)(x); Soal 2: Diberikan f(x) = 2x + 7 dan g(x) = 5x - 4, tentukan rumus (g o f)(x); Soal 3: Diberikan p(x) = 3x - 8 dan q(x) = -x + 6, tentukan rumus (p o q)(x) (acuan: Soal 1 = 10x - 1; Soal 2 = 10x + 31; Soal 3 = -3x + 10) (30 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid membandingkan hasil (f o g)(x) dan (g o f)(x) dari soal yang telah dikerjakan untuk menyimpulkan secara kritis bahwa pada komposisi fungsi secara umum tidak berlaku sifat komutatif, yaitu (f o g)(x) ≠ (g o f)(x) (15 menit).

Penutup:

• Murid menyelesaikan asesmen akhir berupa 1 butir tes tiket keluar (exit ticket): 'Tentukan rumus (f o g)(x) jika f(x) = 5x - 2 dan g(x) = 2x + 3' (acuan: (f o g)(x) = 5(2x + 3) - 2 = 10x + 15 - 2 = 10x + 13) (10 menit).
• Guru memberikan penguatan terhadap hasil kerja murid, menyampaikan gambaran materi pertemuan berikutnya yaitu komposisi fungsi linear dan kuadrat, lalu menutup pembelajaran dengan doa dan salam (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Menyediakan lembar bantu rincian substitusi berwarna untuk murid yang membutuhkan penuntun langkah, serta fungsi linear dengan koefisien pecahan atau bilangan negatif untuk murid yang membutuhkan tantangan lebih lanjut.
• Proses: Memberikan bimbingan terfokus pada penguraian tanda kurung aljabar bagi murid yang lambat, sementara murid cepat langsung menyelesaikan penentuan komposisi fungsi secara mandiri.
• Produk: Murid yang membutuhkan bimbingan cukup menuliskan tahap substitusi eksplisit sebelum disederhanakan, sedangkan murid mahir menuliskan bentuk paling sederhana disertai pembuktian ketidaksamaan (f o g)(x) ≠ (g o f)(x).

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Tes tertulis diagnostik aljabar 2 butir soal: (1) Menentukan nilai f(4) jika f(x) = 2x + 3 (acuan jawaban: 2(4) + 3 = 11); (2) Menentukan f(a + 1) jika f(x) = 2x + 3 (acuan jawaban: 2(a + 1) + 3 = 2a + 5).

Proses:

• Pemeriksaan ketepatan pengerjaan 2 pasangan fungsi pada kuis 'Estafet Aljabar': Pasangan 1 f(x) = 4x + 1 dan g(x) = x - 3 menghasilkan (f o g)(x) = 4(x - 3) + 1 = 4x - 11 dan (g o f)(x) = (4x + 1) - 3 = 4x - 2; Pasangan 2 f(x) = -2x + 5 dan g(x) = 3x - 1 menghasilkan (f o g)(x) = -2(3x - 1) + 5 = -6x + 7 dan (g o f)(x) = 3(-2x + 5) - 1 = -6x + 14.
• Pemeriksaan Lembar Latihan mandiri 3 butir: Soal 1 f(x)=2x+7, g(x)=5x-4 -> (f o g)(x) = 2(5x - 4) + 7 = 10x - 1; Soal 2 (g o f)(x) = 5(2x + 7) - 4 = 10x + 31; Soal 3 p(x)=3x-8, q(x)=-x+6 -> (p o q)(x) = 3(-x + 6) - 8 = -3x + 10.

Akhir Pertemuan:

• Tiket keluar (exit ticket) 1 butir: Tentukan rumus (f o g)(x) jika diketahui f(x) = 5x - 2 dan g(x) = 2x + 3 (acuan jawaban benar: f(g(x)) = 5(2x + 3) - 2 = 10x + 15 - 2 = 10x + 13).

Formatif:

• Tes diagnostik singkat tertulis substitusi aljabar di awal pembelajaran
• Observasi unjuk kerja dan ketepatan penyelesaian saat kuis tantangan estafet berpasangan
• Pemeriksaan hasil kerja mandiri menentukan komposisi fungsi linear pada Lembar Latihan

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alokasi waktu 135 menit mencukupi bagi murid untuk memahami prosedur operasi substitusi fungsi komposisi linear?
• Bagian mana dari langkah operasi aljabar (substitusi kurung, sifat distributif, atau pengelompokan suku sejenis) yang paling banyak menjadi kendala bagi murid?

Murid:

• Langkah apa yang harus saya lakukan terlebih dahulu ketika diminta menentukan rumus (f o g)(x)?
• Mengapa hasil dari (f o g)(x) tidak selalu menghasilkan rumus yang sama dengan (g o f)(x)?

Pertemuan 2 — Menentukan Komposisi Fungsi Linear dan Kuadrat Beserta Daerah Asalnya — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.1 Menentukan komposisi fungsi menggunakan fungsi yang sesuai

Pendahuluan:

• Guru membuka kelas dengan salam, memeriksa kehadiran murid, dan menyampaikan tujuan pembelajaran yaitu menentukan rumus komposisi fungsi linear dan kuadrat serta menentukan daerah asalnya (domain) (5 menit).
• Guru memberikan asesmen diagnostik singkat berupa 2 soal prasyarat di papan tulis: (1) Jika f(x) = 2x - 1 dan g(x) = x², tentukan rumus (f ∘ g)(x); (2) Tentukan daerah asal alami fungsi g(x) = x² - 4. Murid mengerjakan mandiri di buku catatan, guru memeriksa cepat (acuan: (1) f(g(x)) = 2x² - 1; (2) Dg = {x | x ∈ R}) (10 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran):

• Murid menyimak demonstrasi guru tentang konsep komposisi fungsi linear dan kuadrat melalui contoh: f(x) = 2x + 3 (linear) dan g(x) = x² - 1 (kuadrat). Guru menunjukkan alur substitusi untuk menentukan (f ∘ g)(x) = 2(x² - 1) + 3 = 2x² + 1 dan (g ∘ f)(x) = (2x + 3)² - 1 = 4x² + 12x + 8 (15 menit).
• Murid mencermati penjelasan guru mengenai penentuan daerah asal (domain) komposisi fungsi: D_(f ∘ g) = {x ∈ D_g | g(x) ∈ D_f}. Murid membedakan daerah asal fungsi kuadrat dan linear pada himpunan bilangan real (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid memainkan kuis tantangan berpasangan 'Komposisi Cepat': setiap pasangan menerima 2 kartu soal untuk dikerjakan secara bergantian dan saling mencocokkan hasil. Kartu A: f(x) = 3x - 2 dan g(x) = x² + 1, tentukan (f ∘ g)(x) dan daerah asalnya. Kartu B: f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x² - 3, tentukan (g ∘ f)(x) dan daerah asalnya. Guru berkeliling memberi arahan langsung (acuan Kartu A: (f ∘ g)(x) = 3x² + 1, domain D = {x | x ∈ R}; acuan Kartu B: (g ∘ f)(x) = 2(x + 4)² - 3 = 2x² + 16x + 29, domain D = {x | x ∈ R}) (25 menit).
• Murid secara mandiri menyelesaikan Latihan Mandiri berisi 3 soal tertulis pada lembar kerja: (1) Diketahui f(x) = x - 5 dan g(x) = x² + 2x, tentukan rumus (f ∘ g)(x) beserta daerah asalnya; (2) Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² - 4, tentukan rumus (g ∘ f)(x) beserta daerah asalnya; (3) Diketahui f(x) = 4 - x dan g(x) = 3x², tentukan nilai (f ∘ g)(2) (30 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid memeriksa kembali langkah substitusi aljabar dan ketepatan daerah asal dari 3 soal latihan mandiri yang telah dikerjakan berdasarkan pembahasan bersama di papan tulis (acuan: No 1: (f ∘ g)(x) = x² + 2x - 5 dengan D = {x | x ∈ R}; No 2: (g ∘ f)(x) = (2x + 1)² - 4 = 4x² + 4x - 3 dengan D = {x | x ∈ R}; No 3: g(2) = 12, maka f(12) = 4 - 12 = -8) (15 menit).
• Murid menuliskan satu catatan refleksi di buku tulis mengenai perbedaan utama dalam menyubstitusikan fungsi linear ke fungsi kuadrat dibandingkan menyubstitusikan fungsi kuadrat ke fungsi linear beserta ketelitian penentuan daerah asalnya (10 menit).

Penutup:

• Guru memberikan penguatan konsep bahwa komposisi fungsi linear dan kuadrat pada domain bilangan real menghasilkan fungsi kuadrat yang memiliki daerah asal seluruh bilangan real (5 menit).
• Guru menutup sesi pembelajaran dengan menyampaikan topik untuk pertemuan berikutnya (komposisi tiga fungsi menggunakan sifat asosiatif) dan memimpin doa penutup (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Menyediakan kartu bantu berisikan bagan alur langkah substitusi aljabar bertahap bagi murid yang membutuhkan panduan teknis.
• Proses: Bagi murid yang memerlukan bimbingan, guru memberikan pendampingan terstruktur pada tahap penjabaran kuadrat suku dua; bagi murid cepat, diberikan soal mandiri tambahan dengan koefisien kuadrat negatif: f(x) = -2x² + 3 dan g(x) = 2x - 1, tentukan (f ∘ g)(x) beserta daerah asalnya.
• Produk: Murid menyelesaikan lembar latihan mandiri sesuai tingkat kemandirian dengan target minimal menyelesaikan 3 soal inti secara tepat.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Diagnostik tertulis singkat di awal pembelajaran (2 soal): (1) Jika f(x) = 2x - 1 dan g(x) = x², tentukan rumus (f ∘ g)(x); (2) Tentukan daerah asal alami fungsi g(x) = x² - 4. (Acuan jawaban: (1) f(g(x)) = 2(x²) - 1 = 2x² - 1; (2) D_g = {x | x ∈ R}).

Proses:

• Formatif proses melalui kuis tantangan berpasangan (Kartu A dan Kartu B) untuk mengamati ketepatan langkah substitusi dan penentuan domain. (Acuan Kartu A: (f ∘ g)(x) = 3(x² + 1) - 2 = 3x² + 1, domain D = {x | x ∈ R}; acuan Kartu B: (g ∘ f)(x) = 2(x + 4)² - 3 = 2(x² + 8x + 16) - 3 = 2x² + 16x + 29, domain D = {x | x ∈ R}).
• Formatif latihan mandiri 3 soal: mengukur ketepatan menentukan rumus komposisi dan daerah asalnya. (Acuan: Soal 1: (f ∘ g)(x) = x² + 2x - 5, D = {x | x ∈ R}; Soal 2: (g ∘ f)(x) = 4x² + 4x - 3, D = {x | x ∈ R}; Soal 3: (f ∘ g)(2) = -8).

Akhir Pertemuan:

• Cek pemahaman di akhir sesi melalui pemeriksaan mandiri 3 butir soal latihan mandiri terhadap kunci acuan di papan tulis, dengan kriteria ketuntasan minimal 2 dari 3 soal diselesaikan dengan rumus dan daerah asal yang tepat.

Formatif:

• Tes tertulis singkat pada asesmen awal (diagnostik prasyarat komposisi dasar dan domain)
• Observasi unjuk kerja saat kuis tantangan berpasangan 'Komposisi Cepat'
• Pemeriksaan hasil lembar kerja mandiri 3 soal penentuan rumus komposisi fungsi linear-kuadrat dan daerah asalnya

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alokasi waktu 135 menit mencukupi bagi murid untuk memahami dan melatih substitusi aljabar kuadrat secara mandiri?
• Bagian langkah manakah yang paling sering memicu kekeliruan murid dalam menyederhanakan bentuk kuadrat (g ∘ f)(x)?

Murid:

• Apakah saya sudah dapat membedakan langkah penentuan rumus (f ∘ g)(x) dan (g ∘ f)(x) jika salah satu fungsinya adalah fungsi kuadrat?
• Bagaimana cara saya memastikan daerah asal dari fungsi komposisi yang telah saya peroleh sudah tepat?

Pertemuan 3 — Menentukan Komposisi Tiga Fungsi Menggunakan Sifat Asosiatif — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.1 Menentukan komposisi fungsi menggunakan fungsi yang sesuai

Pendahuluan:

• Guru membuka kelas dengan salam, memeriksa kehadiran murid, dan menyampaikan tujuan pembelajaran yaitu menentukan rumus dan nilai komposisi tiga fungsi menggunakan sifat asosiatif (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal diagnostik singkat secara tertulis mengenai penentuan komposisi dua fungsi: Diberikan f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ∘ g)(x)! (acuan: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x) + 1 = 6x + 1) untuk mengecek kesiapan murid (10 menit).
• Guru memberikan pengantar kontekstual mengenai pengelompokan operasi hitung berurutan dan mengaitkannya dengan sifat asosiatif pada operasi komposisi tiga fungsi (5 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Murid mencermati pemodelan matematis penentuan komposisi tiga fungsi yang didemonstrasikan guru dengan fungsi f(x) = 2x, g(x) = x + 3, dan h(x) = x^2, melalui dua cara pengelompokan: Cara I yaitu ((f ∘ g) ∘ h)(x) dan Cara II yaitu (f ∘ (g ∘ h))(x) (15 menit).
• Murid secara berkesadaran menganalisis langkah substitusi aljabar: Cara I membentuk (f ∘ g)(x) = 2(x + 3) = 2x + 6, lalu ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 2(h(x)) + 6 = 2x^2 + 6. Cara II membentuk (g ∘ h)(x) = x^2 + 3, lalu (f ∘ (g ∘ h))(x) = 2(x^2 + 3) = 2x^2 + 6, sehingga membuktikan ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ (g ∘ h))(x) (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid membentuk kelompok berpasangan untuk memainkan tantangan berpasangan 'Rally Hitung Asosiatif' yang menggembirakan: Pasangan A menghitung ruas kiri ((f ∘ g) ∘ h)(x) dan Pasangan B menghitung ruas kanan (f ∘ (g ∘ h))(x) untuk Masalah 1: f(x) = x - 4, g(x) = 2x, h(x) = x + 5 (acuan: (f ∘ g)(x) = 2x - 4, ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 2(x + 5) - 4 = 2x + 6; (g ∘ h)(x) = 2(x + 5) = 2x + 10, (f ∘ (g ∘ h))(x) = (2x + 10) - 4 = 2x + 6; hasil kedua ruas identik 2x + 6) (20 menit).
• Murid berpasangan melanjutkan tantangan 'Rally Hitung Asosiatif' untuk Masalah 2: f(x) = 3x, g(x) = x^2 + 1, h(x) = x - 2, menentukan rumus komposisi ((f ∘ g) ∘ h)(x) serta menghitung nilai untuk x = 3 (acuan: (g ∘ h)(x) = (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5; (f ∘ (g ∘ h))(x) = 3(x^2 - 4x + 5) = 3x^2 - 12x + 15; nilai untuk x = 3 adalah 3(3)^2 - 12(3) + 15 = 27 - 36 + 15 = 6) (20 menit).
• Murid mengerjakan latihan mandiri terarah untuk menentukan rumus komposisi tiga fungsi Masalah 3: f(x) = 2x + 5, g(x) = x - 1, h(x) = 4x (acuan: (g ∘ h)(x) = 4x - 1, (f ∘ (g ∘ h))(x) = 2(4x - 1) + 5 = 8x - 2 + 5 = 8x + 3) (15 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid bersama guru membandingkan hasil kedua cara pengelompokan dari Masalah 1, 2, dan 3 untuk menarik kesimpulan terstruktur bahwa sifat asosiatif (f ∘ (g ∘ h)) = ((f ∘ g) ∘ h) selalu berlaku pada komposisi fungsi (10 menit).
• Murid secara mandiri menuliskan refleksi pemahaman langkah aljabar yang paling krusial saat menyubstitusikan fungsi bagian dalam ke fungsi bagian luar (5 menit).

Penutup:

• Guru memberikan asesmen akhir berupa cek pemahaman mandiri 1 butir soal: Jika f(x) = x + 2, g(x) = 3x, dan h(x) = 2x - 1, tentukan rumus ((f ∘ g) ∘ h)(x)! (acuan: (f ∘ g)(x) = 3x + 2; ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 3(2x - 1) + 2 = 6x - 3 + 2 = 6x - 1) (10 menit).
• Guru memberikan umpan balik langsung terhadap hasil cek pemahaman dan menyampaikan tindak lanjut untuk pertemuan berikutnya mengenai pemodelan situasi bertahap (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Menyediakan lembar kerja dengan bagan alur bertahap (scaffolding kurung bertingkat) bagi murid yang memerlukan panduan substitusi aljabar.
• Proses: Bagi murid yang membutuhkan bimbingan, guru mendampingi langkah pembentukan fungsi antara (f ∘ g)(x) terlebih dahulu; bagi murid yang berpencapaian tinggi, diberikan fungsi kuadrat pada posisi terluar atau terdalam f(x) = x^2, g(x) = 2x + 1, h(x) = x - 3 untuk diselesaikan secara mandiri.
• Produk: Murid dapat menuliskan penyelesaian langkah demi langkah menggunakan format pengelompokan ruas kiri ((f ∘ g) ∘ h)(x) atau ruas kanan (f ∘ (g ∘ h))(x).

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Soal tertulis diagnostik: Diberikan f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan rumus (f ∘ g)(x)! (acuan jawaban: (f ∘ g)(x) = f(3x) = 2(3x) + 1 = 6x + 1).

Proses:

• Tugas Masalah 1: Tentukan ((f ∘ g) ∘ h)(x) dan (f ∘ (g ∘ h))(x) untuk f(x) = x - 4, g(x) = 2x, h(x) = x + 5 (acuan jawaban: ruas kiri ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 2(x + 5) - 4 = 2x + 6; ruas kanan (f ∘ (g ∘ h))(x) = 2(x + 5) - 4 = 2x + 6).
• Tugas Masalah 2: Tentukan rumus (f ∘ (g ∘ h))(x) dan nilai (f ∘ (g ∘ h))(3) jika f(x) = 3x, g(x) = x^2 + 1, h(x) = x - 2 (acuan jawaban: rumus = 3x^2 - 12x + 15; nilai untuk x = 3 adalah 3(3)^2 - 12(3) + 15 = 6).
• Tugas Masalah 3: Tentukan rumus ((f ∘ g) ∘ h)(x) jika f(x) = 2x + 5, g(x) = x - 1, h(x) = 4x (acuan jawaban: rumus = 8x + 3).

Akhir Pertemuan:

• Cek pemahaman tertulis: Diberikan f(x) = x + 2, g(x) = 3x, dan h(x) = 2x - 1. Tentukan rumus ((f ∘ g) ∘ h)(x)! (acuan jawaban: (f ∘ g)(x) = 3x + 2; ((f ∘ g) ∘ h)(x) = 3(2x - 1) + 2 = 6x - 1).

Formatif:

• Tes diagnostik tertulis singkat di awal pembelajaran untuk mengecek penguasaan komposisi dua fungsi.
• Observasi unjuk kerja dan ketepatan penyelesaian saat aktivitas berpasangan 'Rally Hitung Asosiatif'.
• Cek pemahaman mandiri di akhir sesi mengenai penentuan rumus komposisi tiga fungsi.

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah aktivitas tantangan berpasangan 'Rally Hitung Asosiatif' efektif membuat murid aktif dan memahami sifat asosiatif?
• Bagian mana dari langkah substitusi bertahap tiga fungsi yang paling banyak memicu kesalahan perhitungan aljabar murid?

Murid:

• Apakah saya sudah dapat menentukan rumus komposisi tiga fungsi baik dikelompokkan di depan ((f ∘ g) ∘ h) maupun di belakang (f ∘ (g ∘ h))?
• Langkah aljabar apa yang harus saya perhatikan secara cermat saat melakukan substitusi bertahap tiga fungsi?

Pertemuan 4 — Memodelkan Situasi Bertahap Perhitungan Biaya Menggunakan Komposisi Fungsi Linear — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.3 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan komposisi fungsi

Pendahuluan:

• Guru membuka sesi pembelajaran dengan salam dan presensi kehadiran murid (3 menit).
• Guru menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu memodelkan situasi bertahap perhitungan biaya menggunakan komposisi fungsi linear (4 menit).
• Guru memberikan tes diagnostik singkat pada lembar asesmen awal mengenai penulisan rumus fungsi linear sederhana dan nilai fungsi: (1) Suatu layanan mengenakan tarif dasar Rp5.000 ditambah Rp2.000 per km (jarak x), tulis fungsi biayanya f(x)! (Acuan: f(x) = 2.000x + 5.000); (2) Jika g(y) = y - 3.000, tentukan nilai g(9.000)! (Acuan: g(9.000) = 6.000) (8 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Bermakna, Berkesadaran):

• Murid mencermati ilustrasi kontekstual biaya pengiriman barang bertahap: Tahap 1 menghitung ongkos kirim berdasarkan berat x kg dengan rumus linear f(x) = 8.000x + 5.000, dan Tahap 2 menghitung biaya total akhir setelah dikenakan biaya asuransi/layanan g(y) = y + 2.000, dengan y = f(x) (12 menit).
• Murid menyimak pemodelan penggabungan kedua tahap menjadi fungsi komposisi tunggal: (g o f)(x) = g(f(x)) = (8.000x + 5.000) + 2.000 = 8.000x + 7.000, serta mengidentifikasi variabel x sebagai berat barang dan nilai (g o f)(x) sebagai total biaya (13 menit).

Mengaplikasi (Bermakna, Menggembirakan):

• Murid membentuk kelompok berpasangan untuk memainkan 'Tantangan Belanja Bertahap': setiap pasangan memilih 1 dari 2 skenario promosi toko buku lalu menentukan model fungsi komposisinya secara tepat (15 menit).
• Murid secara berpasangan menyelesaikan Skenario A pada lembar kerja: Sebuah toko buku menetapkan harga buku setelah diskon 10% adalah f(x) = 0,9x (dengan x = harga label), lalu di kasir dikenakan biaya kemasan bingkisan ramah lingkungan g(y) = y + 3.000; murid menyusun model komposisi (g o f)(x) dan menghitung biaya untuk buku berlabel x = Rp50.000 (Acuan model: (g o f)(x) = 0,9x + 3.000; nilai: Rp48.000) (20 menit).
• Murid secara berpasangan menyelesaikan Skenario B pada lembar kerja: Layanan antar belanja mengenakan tarif pengantaran berjarak x km sebesar f(x) = 3.000x + 4.000, kemudian platform memberikan voucher cashback langsung g(y) = y - 2.000; murid menyusun model komposisi (g o f)(x) dan menghitung biaya akhir jika jarak antar x = 6 km (Acuan model: (g o f)(x) = 3.000x + 2.000; nilai: Rp20.000) (25 menit).
• Guru melakukan observasi formatif berkelanjutan menggunakan catatan lembar observasi terhadap ketepatan rumus fungsi tiap tahap dan bentuk akhir komposisi fungsi linear yang dimodelkan (10 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid meninjau kembali perbedaan hasil pemodelan jika urutan tahap dibalik (misal: potongan tetap diberikan sebelum diskon persentase) dan menyadari pentingnya ketepatan urutan komposisi fungsi dalam dunia keuangan sehari-hari (10 menit).

Penutup:

• Murid mengerjakan tes asesmen akhir mandiri berisi 1 soal pemodelan biaya bertahap (10 menit).
• Guru memberikan penguatan terhadap konsep pemodelan fungsi komposisi linear bertahap dan menyampaikan rencana pembelajaran pertemuan berikutnya tentang pemodelan fungsi linear dan kuadrat (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Murid yang membutuhkan bimbingan diberikan kartu panduan skema alur input-proses-output bertahap, sedangkan murid yang siap tantangan diberikan skenario biaya bertahap dengan 3 komponen tarif linear.
• Proses: Murid yang masih kesulitan dibimbing langsung oleh guru dalam mendefinisikan rumus per tahap sebelum mengomposisikannya, sedangkan murid yang mahir bekerja mandiri memverifikasi pemodelan kasus alternatif.
• Produk: Semua murid menghasilkan model fungsi linear bertahap dan nilai perhitungan biaya pada LKPD sesuai tingkat kemandirian masing-masing.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Soal tertulis singkat di awal pembelajaran: (1) Tuliskan rumus fungsi biaya f(x) dari tarif taksi dengan biaya buka pintu Rp5.000 dan argo Rp2.000 per km (x)! (Acuan kunci: f(x) = 2.000x + 5.000); (2) Jika g(y) = y - 3.000, hitunglah nilai g(9.000)! (Acuan kunci: g(9.000) = 6.000).

Proses:

• Observasi keterlibatan dan ketepatan murid menyusun model fungsi per tahap serta bentuk komposisi (g o f)(x) pada LKPD berpasangan: Skenario A (Acuan: f(x) = 0,9x; g(y) = y + 3.000; (g o f)(x) = 0,9x + 3.000; untuk x = 50.000 hasilnya Rp48.000) dan Skenario B (Acuan: f(x) = 3.000x + 4.000; g(y) = y - 2.000; (g o f)(x) = 3.000x + 2.000; untuk x = 6 hasilnya Rp20.000).

Akhir Pertemuan:

• Soal tes mandiri penutup: 'Sebuah percetakan menetapkan biaya cetak f(x) = 500x + 10.000 (x = jumlah lembar), kemudian mengenakan biaya pengemasan box g(y) = y + 5.000. Tuliskan model fungsi komposisi total biaya (g o f)(x) dan hitung biaya untuk x = 100 lembar!' (Acuan kunci: model fungsi (g o f)(x) = (500x + 10.000) + 5.000 = 500x + 15.000; nilai total biaya = 500(100) + 15.000 = Rp65.000).

Formatif:

• Asesmen diagnostik tertulis singkat di awal pembelajaran tentang perumusan fungsi linear dan substitusi nilai fungsi
• Lembar observasi unjuk kerja berpasangan saat memodelkan komposisi fungsi linear pada Skenario A dan Skenario B
• Cek pemahaman mandiri di akhir pertemuan menggunakan 1 butir soal pemodelan biaya bertahap

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah konteks perhitungan biaya bertahap (diskon dan ongkos kirim) berhasil membantu murid memahami abstraksi komposisi fungsi linear?
• Bagian mana dari langkah pemodelan (menentukan fungsi tahap 1, tahap 2, atau penggabungannya) yang paling banyak membutuhkan scaffolding?

Murid:

• Apakah saya dapat merumuskan fungsi matematis dari situasi tarif atau biaya bertahap dalam kehidupan sehari-hari?
• Bagaimana langkah saya dalam memastikan urutan fungsi komposisi sudah tepat sebelum menghitung hasil akhirnya?

Pertemuan 5 — Memodelkan Situasi Produksi Dua Tahap Menggunakan Komposisi Fungsi Linear dan Kuadrat — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.3 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan komposisi fungsi

Pendahuluan:

• Guru membuka pembelajaran dengan salam, memeriksa kehadiran murid, serta menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan ini, yaitu memodelkan situasi produksi dua tahap menggunakan komposisi fungsi linear dan kuadrat (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal diagnostik singkat dengan menampilkan 2 soal di papan tulis: (1) Suatu proses mengubah bahan x menjadi y = 2x + 10 (linear), lalu y diubah menjadi z = y^2 (kuadrat). Tentukan rumus z terhadap x!; (2) Jika bahan mentah x = 5 kg, berapa nilai z? Murid menuliskan jawaban di kertas kecil (acuan kunci: (1) z = (2x + 10)^2 = 4x^2 + 40x + 100; (2) untuk x = 5, y = 2(5) + 10 = 20, z = 20^2 = 400) (10 menit).
• Guru memberikan apersepsi kontekstual tentang alur produksi pabrik keripik singkong: Mesin I (pengupasan dan pemotongan, model linear) dan Mesin II (penggorengan dan pengemasan, model kuadrat), serta memotivasi manfaat merumuskan fungsi komposisi langsung agar perencanaan produksi bahan baku efisien (5 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Murid menyimak stimulus berupa skenario produksi tepung tapioka: Tahap I (penggilingan ubi kayu x kg menjadi pati basah m kg) dimodelkan fungsi linear m = f(x) = 0,6x - 2; Tahap II (pengeringan dan penepungan m kg pati basah menjadi tepung tapioka siap kemas p kg) dimodelkan fungsi kuadrat p = g(m) = 0,5m^2 + 4m. Guru memandu murid menganalisis variabel input, variabel perantara, dan variabel output (15 menit).
• Murid mengamati pemodelan fungsi komposisi (g o f)(x) = g(f(x)) = 0,5(0,6x - 2)^2 + 4(0,6x - 2) dan penyederhanaan aljabar bentuk kuadratnya hingga menghasilkan rumus fungsi produksi tunggal, serta menganalisis syarat domain matematis dan fisik (x > 3,33 agar m > 0) secara berkesadaran dan mendalam (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid berpasangan memainkan aktivitas tantangan interaktif 'Simulasi Manajer Pabrik' (prinsip menggembirakan): tiap pasangan memilih salah satu amplop studi kasus pabrik (Kasus A: Pabrik Biskuit, atau Kasus B: Pabrik Kertas Daur Ulang) untuk merumuskan fungsi komposisi secara tepat dan cepat beradu akurasi dengan pasangan lain (15 menit).
• Murid mengerjakan Lembar Kerja Pemodelan Produksi Dua Tahap secara berpasangan yang memuat 2 skenario konkret: Skenario 1 (Pabrik Keripik: Tahap 1 potong kentang linear f(x) = 2x - 5, Tahap 2 goreng kuadrat g(y) = y^2 + 3y; rumuskan (g o f)(x) dan hitung output jika x = 10 ton); Skenario 2 (Pabrik Pupuk Organik: Tahap 1 fermentasi kuadrat f(x) = x^2 + 2x, Tahap 2 granulasi linear g(y) = 3y + 10; rumuskan (g o f)(x) dan hitung output jika x = 4 ton) (15 menit).
• Murid bersama pasangannya memverifikasi hasil pemodelan matematika dengan mencocokkan perhitungan dua langkah bertahap versus perhitungan langsung satu rumus komposisi untuk memastikan kedua cara memberikan hasil yang sama persis (15 menit).

Merefleksi (Berkesadaran, Bermakna):

• Perwakilan murid menuliskan model fungsi komposisi yang telah dirumuskan di papan tulis dan murid lain membandingkan kesesuaian langkah penjabaran aljabar fungsi kuadrat dan linearnya (15 menit).
• Murid menyimpulkan makna pemodelan komposisi fungsi linear-kuadrat dalam konteks industri: efisiensi waktu kalkulasi input-output dan pengendalian kapasitas bahan baku (10 menit).

Penutup:

• Guru memberikan asesmen akhir berupa cek pemahaman mandiri 1 butir soal pemodelan: Suatu cairan kimia diproses mesin A dengan rumus y = f(x) = x + 4 (linear), lalu mesin B mengolahnya dengan rumus z = g(y) = y^2 - 2y (kuadrat). Tentukan rumus fungsi komposisi output z terhadap bahan mentah x! Murid menyelesaikan dalam lembar keluar (exit ticket) (acuan kunci: (g o f)(x) = (x + 4)^2 - 2(x + 4) = x^2 + 8x + 16 - 2x - 8 = x^2 + 6x + 8) (10 menit).
• Guru memberikan penguatan terhadap pencapaian belajar hari ini, mengingatkan murid untuk mempelajari materi Pertemuan 6 tentang fungsi invers linear, dan menutup kelas dengan doa bersama (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Murid yang memerlukan bimbingan diberikan panduan alur substitusi bertahap berstruktur (diagram mesin fungsi aljabar berpetak); murid yang mahir diberikan fungsi kuadrat dengan koefisien pecahan atau desimal bertahap.
• Proses: Murid yang membutuhkan perancah (scaffolding) dibimbing secara intensif oleh guru pada tahap pemfaktoran dan ekspansi kuadrat (ax + b)^2; murid yang cepat bekerja mandiri menyelesaikan tantangan variasi kombinasi kuadrat-linear dan linear-kuadrat.
• Produk: Format penyajian lembar kerja memuat pilihan diagram alur substitusi simbolik bagi murid bertipe visual atau penjabaran aljabar langsung bagi murid yang terbiasa simbolik deduktif.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Tes diagnostik tertulis singkat (2 butir): (1) Diberikan fungsi linear y = f(x) = 2x + 10 dan fungsi kuadrat z = g(y) = y^2. Tentukan model z dalam variabel x! (acuan kunci: z = (2x + 10)^2 = 4x^2 + 40x + 100); (2) Jika bahan mentah x = 5, hitung nilai z! (acuan kunci: untuk x = 5, y = 2(5) + 10 = 20, maka z = 20^2 = 400).

Proses:

• Penilaian unjuk kerja LKPD Pemodelan Produksi Dua Tahap yang memuat 2 butir skenario: (1) Skenario Keripik: f(x) = 2x - 5 dan g(y) = y^2 + 3y; tentukan (g o f)(x) dan output untuk x = 10 (acuan kunci: (g o f)(x) = (2x - 5)^2 + 3(2x - 5) = 4x^2 - 20x + 25 + 6x - 15 = 4x^2 - 14x + 10; untuk x = 10 -> (g o f)(10) = 4(100) - 14(10) + 10 = 400 - 140 + 10 = 270 ton); (2) Skenario Pupuk: f(x) = x^2 + 2x dan g(y) = 3y + 10; tentukan (g o f)(x) dan output untuk x = 4 (acuan kunci: (g o f)(x) = 3(x^2 + 2x) + 10 = 3x^2 + 6x + 10; untuk x = 4 -> (g o f)(4) = 3(16) + 6(4) + 10 = 48 + 24 + 10 = 82 ton).

Akhir Pertemuan:

• Exit ticket mandiri 1 butir pemodelan situasi produksi: Suatu proses kimia memproses x kg zat mentah pada Reaktor 1 menghasilkan larutan y = f(x) = x + 4 (linear), lalu Reaktor 2 mengolah larutan y menjadi zat padat z = g(y) = y^2 - 2y (kuadrat). Tentukan model matematika fungsi komposisi z = (g o f)(x) dalam bentuk paling sederhana! (acuan kunci: (g o f)(x) = (x + 4)^2 - 2(x + 4) = x^2 + 8x + 16 - 2x - 8 = x^2 + 6x + 8).

Formatif:

• Asesmen diagnostik awal di awal sesi tentang substitusi bertahap dua fungsi aljabar.
• Observasi formatif selama pengerjaan Lembar Kerja Pemodelan Produksi Dua Tahap (memeriksa ketepatan ekspansi aljabar kuadrat dan substitusi fungsi linear).
• Exit ticket (cek pemahaman akhir) perumusan fungsi komposisi (g o f)(x) dari fungsi linear dan kuadrat.

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah konteks produksi dua tahap (linear dan kuadrat) membantu murid memahami kegunaan nyata dari komposisi fungsi?
• Bagian aljabar mana yang paling banyak memicu kesalahan murid saat mengomposisikan fungsi kuadrat dan linear, dan bagaimana perancah (scaffolding) yang perlu diperbaiki?

Murid:

• Apakah saya dapat merumuskan rumus komposisi fungsi langsung ketika diberikan dua tahap mesin produksi yang berbeda rumus (linear dan kuadrat)?
• Apa keuntungan menghitung total produksi menggunakan rumus komposisi dibandingkan menghitung satu per satu per mesin?

Pertemuan 6 — Menentukan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi Linear — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.2 Menentukan fungsi invers menggunakan fungsi yang sesuai

Pendahuluan:

• Guru membuka pelajaran, menyapa murid, dan memfasilitasi doa bersama sejenak (5 menit).
• Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan ini: menentukan fungsi invers dari suatu fungsi linear menggunakan aturan aljabar (5 menit).
• Guru memberikan asesmen awal diagnostik singkat berupa 2 soal aljabar linear: (1) Selesaikan x dari persamaan y = 3x - 6 (acuan: x = (y + 6)/3 atau x = 1/3 y + 2); (2) Jika g(x) = 2x + 5 dan g(a) = 11, tentukan nilai a (acuan: 2a + 5 = 11 -> 2a = 6 -> a = 3) (10 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Murid menyimak demonstrasi guru tentang konsep fungsi invers sebagai proses pembalikan relasi: mengubah persamaan y = f(x) menjadi x = f^(-1)(y), kemudian menukar variabel menjadi f^(-1)(x) (15 menit).
• Murid mencermati dan meniru langkah penyelesaian contoh fungsi linear f(x) = 4x - 8 menjadi f^(-1)(x) = (x + 8)/4 = 1/4 x + 2 dengan bimbingan terstruktur (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan):

• Murid berpasangan memainkan aktivitas permainan interaktif 'Tantangan Mesin Mundur': satu murid memberikan fungsi linear bentuk f(x) = ax + b dan pasangannya berlomba menentukan fungsi invers f^(-1)(x) dengan cepat dan tepat menggunakan 3 kartu soal berurutan: Kartu 1: f(x) = 2x + 6 (acuan: f^(-1)(x) = (x - 6)/2); Kartu 2: g(x) = 5 - x (acuan: g^(-1)(x) = 5 - x); Kartu 3: h(x) = (2x - 4)/3 (acuan: h^(-1)(x) = (3x + 4)/2) (25 menit).
• Murid secara mandiri menyelesaikan Lembar Latihan Mandiri yang berisi 4 soal penentuan fungsi invers linear: Soal 1: f(x) = 3x - 9 (acuan: f^(-1)(x) = (x + 9)/3 = 1/3 x + 3); Soal 2: g(x) = -2x + 8 (acuan: g^(-1)(x) = (8 - x)/2 = -1/2 x + 4); Soal 3: h(x) = (3x + 1)/2 (acuan: h^(-1)(x) = (2x - 1)/3); Soal 4: k(x) = (4 - 5x)/2 (acuan: k^(-1)(x) = (4 - 2x)/5) (30 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid bersama guru memeriksa kebenaran langkah aljabar dan rumus invers yang diperoleh pada lembar latihan dengan memverifikasi sifat (f o f^(-1))(x) = x (15 menit).

Penutup:

• Murid mengerjakan cek pemahaman akhir berupa 1 soal tiket keluar: Tentukan f^(-1)(x) jika f(x) = 5x - 10 (acuan: f^(-1)(x) = (x + 10)/5 atau 1/5 x + 2) (10 menit).
• Guru memberikan umpan balik umum terhadap hasil cek pemahaman dan menginformasikan bahwa materi pertemuan berikutnya adalah menentukan fungsi invers dari fungsi kuadrat dengan pembatasan domain (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Menyediakan kartu alur langkah sistematis (langkah 1: nyatakan y = f(x), langkah 2: isolasi x, langkah 3: ganti x dengan f^(-1)(y) dan ubah ke variabel x) bagi murid yang membutuhkan panduan visual.
• Proses: Bagi murid yang memerlukan bimbingan diberikan pendampingan pada operasi aljabar isolasi variabel x; bagi murid mahir diberikan soal fungsi linear pecahan campuran f(x) = (ax + b)/c dengan koefisien negatif dan variabel pecahan.
• Produk: Murid dapat menuliskan bentuk akhir fungsi invers baik dalam bentuk pecahan tunggal (x - b)/a maupun bentuk suku terpisah 1/a x - b/a.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Murid menyelesaikan 2 butir diagnostik prasyarat aljabar linear: (1) Selesaikan x dari persamaan y = 3x - 6 (acuan jawaban: x = (y + 6)/3 = 1/3 y + 2); (2) Jika g(x) = 2x + 5 dan g(a) = 11, tentukan nilai a (acuan jawaban: 2a + 5 = 11 -> 2a = 6 -> a = 3).

Proses:

• Penilaian formatif pada Lembar Latihan Mandiri berisi 4 soal penentuan fungsi invers linear: Soal 1: f(x) = 3x - 9 (acuan: f^(-1)(x) = (x + 9)/3); Soal 2: g(x) = -2x + 8 (acuan: g^(-1)(x) = (8 - x)/2); Soal 3: h(x) = (3x + 1)/2 (acuan: h^(-1)(x) = (2x - 1)/3); Soal 4: k(x) = (4 - 5x)/2 (acuan: k^(-1)(x) = (4 - 2x)/5).

Akhir Pertemuan:

• Murid mengerjakan tiket keluar: Tentukan f^(-1)(x) jika diketahui fungsi linear f(x) = 5x - 10 (acuan jawaban benar: y = 5x - 10 -> 5x = y + 10 -> x = (y + 10)/5, sehingga f^(-1)(x) = (x + 10)/5 atau f^(-1)(x) = 1/5 x + 2).

Formatif:

• Asesmen diagnostik awal manipulasi aljabar linear
• Observasi pengerjaan tantangan berpasangan
• Pemeriksaan Lembar Latihan Mandiri 4 butir penentuan fungsi invers linear
• Cek pemahaman tiket keluar di akhir sesi

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alur penjelasan isolasi variabel x dari bentuk y = ax + b mudah dipahami oleh seluruh murid?
• Bagian manipulasi aljabar mana yang paling banyak memicu kesalahan tanda/perhitungan pada murid?

Murid:

• Apakah saya sudah dapat menentukan rumus fungsi invers dari fungsi linear dengan langkah aljabar yang tepat?
• Langkah mana dalam membalikkan fungsi f(x) menjadi f^(-1)(x) yang masih terasa menantang bagi saya?

Pertemuan 7 — Menentukan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi Kuadrat dengan Pembatasan Domain — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.2 Menentukan fungsi invers menggunakan fungsi yang sesuai

Pendahuluan:

• Guru membuka pembelajaran dengan salam, menyapa murid, dan memeriksa kehadiran di kelas (5 menit).
• Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan ke-7, yaitu menentukan rumus fungsi invers dari fungsi kuadrat dengan memperhatikan pembatasan daerah asal (domain) (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal diagnostik melalui 2 soal singkat di papan tulis mengenai uji garis horizontal dan penyelesaian kuadrat sederhana: (1) Apakah fungsi f(x) = x^2 untuk domain R bersifat satu-satu (injektif)? (Acuan: Tidak, karena garis horizontal y = 4 memotong di dua titik x = 2 dan x = -2); (2) Jika x >= 0 dan x^2 = 9, tentukan nilai x! (Acuan: x = 3, karena x bernilai non-negatif) (10 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Murid menyimak penjelasan guru terarah mengenai syarat fungsi memiliki invers, yaitu fungsi harus bijektif (satu-satu dan pada), sehingga fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c perlu dibatasi domainnya pada x >= -b/(2a) atau x <= -b/(2a) agar grafiknya lolos uji garis horizontal (15 menit).
• Murid mencermati demonstrasi guru dalam menentukan fungsi invers dari f(x) = (x - 2)^2 + 1 untuk domain x >= 2 melalui langkah aljabar: memisalkan y = f(x), mengubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, menarik akar kuadrat (memilih akar positif karena x >= 2), sehingga diperoleh x = 2 + sqrt(y - 1), dan merumuskan f^(-1)(x) = 2 + sqrt(x - 1) dengan domain x >= 1 (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid mengikuti permainan tantangan berpasangan 'Tebak Akar dan Domain': setiap pasangan menerima kartu soal fungsi kuadrat dan berlomba menentukan pasangan rumus invers serta domainnya secara tepat dalam batas waktu yang menyenangkan (15 menit).
• Murid secara mandiri menyelesaikan Lembar Latihan Mandiri yang memuat 2 butir soal penentuan fungsi invers fungsi kuadrat: Soal 1: Tentukan f^(-1)(x) beserta domainnya dari f(x) = x^2 - 4 untuk domain x >= 0. (Acuan: y = x^2 - 4 -> x^2 = y + 4 -> karena x >= 0 dipilih akar positif x = sqrt(y + 4) -> f^(-1)(x) = sqrt(x + 4) dengan domain x >= -4); Soal 2: Tentukan g^(-1)(x) beserta domainnya dari g(x) = x^2 - 6x + 5 untuk domain x >= 3. (Acuan: y = (x - 3)^2 - 4 -> (x - 3)^2 = y + 4 -> karena x >= 3 dipilih akar positif x - 3 = sqrt(y + 4) -> x = 3 + sqrt(y + 4) -> g^(-1)(x) = 3 + sqrt(x + 4) dengan domain x >= -4) (25 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid memeriksa kembali pekerjaan mandirinya dengan membandingkan langkah aljabar yang ditempuh terhadap titik puncak/sumbu simetri fungsi kuadrat asal (15 menit).
• Murid mengidentifikasi secara sadar kesalahan yang sering terjadi saat menarik akar kuadrat (lupa memilih tanda positif/negatif sesuai pembatasan domain asal) dan mencatat simpulan konseptual di buku catatan (15 menit).

Penutup:

• Guru memberikan penguatan dan meluruskan miskonsepsi umum mengenai penentuan domain invers dari range fungsi kuadrat asal (10 menit).
• Guru menyampaikan agenda pembelajaran berikutnya pada Pertemuan 8 (memodelkan situasi konversi satuan dan harga menggunakan fungsi invers linear) dan menutup pembelajaran dengan doa serta salam (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Murid yang membutuhkan bimbingan diberikan fungsi kuadrat bentuk dasar tanpa suku linear f(x) = ax^2 + c, sedangkan murid mahir diberikan fungsi kuadrat bentuk umum f(x) = ax^2 + bx + c yang memerlukan manipulasi kuadrat sempurna.
• Proses: Murid yang mengalami kesulitan mendapatkan scaffolding berupa panduan bertahap pemisalan y dan penarikan akar, sementara murid yang cepat bekerja secara mandiri penuh.
• Produk: Semua murid menyelesaikan soal penentuan fungsi invers, dengan murid mahir menyelesaikan tambahan 1 soal tantangan dengan domain x <= -b/(2a) yang menghasilkan tanda akar negatif.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Kuis diagnostik singkat 2 butir soal: (1) Apakah f(x) = x^2 dengan domain seluruh bilangan real memiliki fungsi invers? Jelaskan dengan uji garis horizontal! (Acuan: Tidak memiliki invers karena garis horizontal memotong grafik di dua titik, sehingga bukan fungsi bijektif/injektif); (2) Jika daerah asal x dibatasi x >= 0 dan diketahui y = x^2, tuliskan x dalam bentuk y! (Acuan: x = sqrt(y)).

Proses:

• Pemeriksaan keakuratan pengerjaan 2 soal Lembar Latihan Mandiri: Butir 1: f(x) = x^2 - 4, x >= 0 -> f^(-1)(x) = sqrt(x + 4), domain x >= -4; Butir 2: g(x) = x^2 - 6x + 5, x >= 3 -> g^(-1)(x) = 3 + sqrt(x + 4), domain x >= -4. (Kriteria ketepatan: tepat mengubah ke bentuk kuadrat sempurna, tepat memilih tanda akar sesuai domain, dan tepat merumuskan aturan invers serta daerah asalnya).

Akhir Pertemuan:

• Cek pemahaman 1 butir di penutup: Tentukan fungsi invers dari h(x) = (x + 1)^2 untuk x >= -1 beserta domain inversnya! (Acuan: y = (x + 1)^2 -> x + 1 = sqrt(y) -> x = sqrt(y) - 1 -> h^(-1)(x) = sqrt(x) - 1 dengan domain x >= 0).

Formatif:

• Kuis diagnostik awal berupa 2 butir uji garis horizontal dan pemahaman nilai akar untuk kesiapan domain non-negatif.
• Observasi unjuk kerja dan lembar kerja mandiri penentuan fungsi invers fungsi kuadrat dengan pembatasan domain.

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alokasi waktu untuk manipulasi aljabar bentuk kuadrat sempurna sudah memadai bagi sebagian besar murid?
• Bagian mana dari pembatasan domain yang paling banyak memicu miskonsepsi pada murid?

Murid:

• Apakah saya sudah dapat menentukan kapan harus memilih tanda akar positif atau negatif saat membalikkan fungsi kuadrat?
• Langkah apa yang paling menantang bagi saya ketika mencari rumus fungsi invers dari bentuk f(x) = ax^2 + bx + c?

Pertemuan 8 — Memodelkan Situasi Konversi Satuan dan Harga Menggunakan Fungsi Invers Linear — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.4 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi invers

Pendahuluan:

• Guru membuka pembelajaran dengan salam, memeriksa kehadiran, dan menyampaikan tujuan pembelajaran yaitu memodelkan situasi konversi satuan dan harga menggunakan fungsi invers linear (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal singkat untuk mengecek kemampuan dasar menentukan variabel bebas dari rumus linear y = 2x + 10 menjadi x = (y - 10)/2 (acuan: x = (y - 10)/2) (10 menit).
• Guru mengaitkan pemodelan fungsi invers dengan masalah nyata sehari-hari seperti membalik konversi suhu dan menghitung mundur harga asal barang setelah diskon/biaya admin (5 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Bermakna, Berkesadaran):

• Murid mencermati situasi konversi satuan suhu: F = f(C) = (9/5)C + 32, kemudian mengidentifikasi makna membalik relasi menjadi C sebagai fungsi dari F yaitu C = f^(-1)(F) = 5/9(F - 32) (15 menit).
• Murid menyimak contoh kedua tentang pemodelan harga: Sebuah toko menetapkan harga bayar y setelah diskon kupon potongan tetap Rp20.000 dan bea bungkus Rp5.000 dengan rumus y = f(x) = x - 15.000, lalu mengonstruksi bentuk inversnya x = f^(-1)(y) = y + 15.000 (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid memainkan kuis tantangan berpasangan 'Tebak Asal Cepat': setiap pasangan memegang 2 kartu tantangan konversi dan berlomba membalik rumus fungsi linear serta menghitung nilai awalnya dengan tepat (kartu 1: y = 1.000x + 5.000 memodelkan biaya sewa x jam, inversnya x = (y - 5.000)/1.000; jika y = 25.000 maka x = 20 jam; kartu 2: y = 0,8x memodelkan harga diskon 20%, inversnya x = y / 0,8; jika y = 80.000 maka x = 100.000) (20 menit).
• Murid secara mandiri menyelesaikan Lembar Kerja Pemodelan Invers Linear yang memuat 2 masalah dunia nyata berikut: Masalah 1: Konversi ukuran sepatu AS (A) ke UK (U) dengan rumus U = f(A) = A - 1, tentukan model invers f^(-1)(U) dan cari ukuran AS jika ukuran UK adalah 8 (acuan: model invers f^(-1)(U) = U + 1; jika U = 8 maka A = 9). Masalah 2: Pembelian buku online dengan rumus tagihan y = f(x) = 50.000x + 10.000 (x = jumlah buku, y = total bayar dalam rupiah). Tentukan model invers f^(-1)(y) untuk menghitung banyaknya buku berdasarkan total uang yang dibayarkan, serta hitung berapa buku yang dibeli jika total bayar Rp260.000 (acuan: model invers f^(-1)(y) = (y - 10.000)/50.000; jika y = 260.000 maka x = (260.000 - 10.000)/50.000 = 5 buku) (35 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid bersama guru memverifikasi hasil pemodelan fungsi invers linear pada lembar kerja dan mengidentifikasi ketepatan langkah aljabar pembalikan variabel secara sadar dan cermat (15 menit).

Penutup:

• Murid mengerjakan tes akhir singkat berisi 1 soal pemodelan fungsi invers harga untuk mengecek ketercapaian target pembelajaran hari ini (10 menit).
• Guru memberikan umpan balik langsung terhadap pengerjaan tes akhir, mengajak murid menyimpulkan intisari memodelkan fungsi invers linear, serta menginformasikan topik pertemuan berikutnya yaitu memodelkan situasi pembalikan masalah produksi menggunakan fungsi invers (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Menyediakan lembar bantu tangga pembalikan variabel aljabar bagi murid yang memerlukan perancah hitung, dan memberikan kasus konversi bertingkat pecahan bagi murid yang cepat.
• Proses: Murid yang membutuhkan bimbingan diberikan panduan langkah demi langkah dalam memisahkan variabel bebas, sedangkan murid mahir langsung menyelesaikan model dan menguji konsistensi satuannya secara mandiri.
• Produk: Format penyajian penyelesaian masalah memuat model fungsi invers linear eksplisit beserta tafsiran nilai asalnya.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Tuliskan variabel x dalam bentuk variabel y dari rumus linear y = 2x + 10 (kunci acuan: x = (y - 10)/2 atau x = 0,5y - 5).

Proses:

• Ketepatan memodelkan fungsi invers linear pada Masalah 1 konversi sepatu UK ke AS: model invers f^(-1)(U) = U + 1, dan untuk U = 8 diperoleh A = 9.
• Ketepatan memodelkan fungsi invers linear pada Masalah 2 pembelian buku: model invers f^(-1)(y) = (y - 10.000)/50.000, dan untuk y = 260.000 diperoleh x = 5 buku.

Akhir Pertemuan:

• Soal cek pemahaman akhir: Sebuah toko baju menerapkan rumus harga bayar y setelah diskon tunai dan ongkos kirim flat: y = f(x) = x - 25.000 + 10.000 = x - 15.000 (x = harga label awal, y = uang yang dibayarkan). Tentukan rumus fungsi invers f^(-1)(y) untuk mencari harga label awal, dan tentukan harga label awal pakaian jika pembeli membayar Rp85.000! (Kunci acuan: model invers f^(-1)(y) = y + 15.000; jika y = 85.000 maka harga awal x = 85.000 + 15.000 = Rp100.000).

Formatif:

• Asesmen diagnostik awal: tes singkat aljabar pembalikan rumus linear y = 2x + 10.
• Observasi unjuk kerja saat kuis tantangan berpasangan 'Tebak Asal Cepat'.
• Pemeriksaan hasil penyelesaian Masalah 1 dan Masalah 2 pada Lembar Kerja Pemodelan Invers Linear.

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah konteks konversi satuan dan skenario harga yang disajikan memudahkan murid memahami esensi membalik fungsi linear?
• Bagian langkah aljabar mana yang paling sering menjadi hambatan murid saat mengisolasi variabel input?

Murid:

• Bagaimana fungsi invers membantu saya menghitung nilai awal suatu besaran atau harga barang di kehidupan nyata?
• Langkah aljabar apa yang perlu saya latih lebih lanjut agar tidak keliru saat menyusun rumus invers linear?

Pertemuan 9 — Memodelkan Situasi Pembalikan Masalah Produksi Menggunakan Fungsi Invers — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.4 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi invers

Pendahuluan:

• Guru membuka pelajaran dengan salam, memeriksa kehadiran murid, dan menyiapkan suasana belajar yang kondusif (5 menit).
• Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pertemuan ini, yaitu memodelkan situasi dunia nyata pada pembalikan masalah produksi menggunakan fungsi invers (5 menit).
• Guru melaksanakan asesmen awal diagnostik singkat secara tertulis menggunakan 2 butir soal: (1) Jika f(x) = 4x + 10, tentukan rumus fungsi invers f⁻¹(x); (2) Jika fungsi f menyatakan hasil produksi baju (unit) dari kain x (meter), apa makna f⁻¹(50)? (10 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran, Bermakna):

• Murid mencermati stimulus masalah produksi: Sebuah pabrik kertas memproduksi kertas jadi k (rim) dari bahan baku kayu x (ton) melalui fungsi k = f(x) = 5x - 4 (dengan x >= 1). Pabrik menerima pesanan sebanyak k rim dan perlu memesan kayu x (10 menit).
• Secara berkesadaran, murid mengidentifikasi variabel input (bahan baku x), variabel output (produk k), domain x >= 1, serta range k >= 1, lalu merumuskan langkah pembalikan aljabar untuk menyatakan x dalam k (15 menit).

Mengaplikasi (Menggembirakan, Bermakna):

• Murid bekerja dalam pasangan mengerjakan lembar tantangan 'Reverse Production Game' yang berisi 2 skenario pemodelan: Skenario A (Pabrik Roti: fungsi produksi donat d = f(t) = 8t + 12, dengan t adalah tepung dalam kg; tentukan model kebutuhan tepung f⁻¹(d) dan hitung t untuk d = 100 donat) dan Skenario B (Pabrik Sepatu: fungsi produksi pasang sepatu s = g(k) = 3k - 6, dengan k adalah kulit lembar; tentukan model kebutuhan kulit g⁻¹(s) dan hitung k untuk s = 45 pasang) (20 menit).
• Murid saling menukar hasil pemodelan dengan pasangan lain untuk mencocokkan formula invers dan hasil perhitungan kebutuhan bahan baku berdasarkan lembar kunci kendali (15 menit).
• Secara mandiri, setiap murid menyelesaikan 1 masalah pemodelan pembalikan produksi lanjutan: Pabrik kemasan mengolah karton lembaran (x) menjadi kotak jadi (y) dengan model y = h(x) = 2x - 5 (x >= 3); susun model fungsi invers x = h⁻¹(y) dan tentukan jumlah karton x yang dibutuhkan jika target kemasan y = 55 kotak (20 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Murid menganalisis kembali makna fisis dari domain fungsi invers yang terbentuk (misalnya bahan baku tidak boleh bernilai negatif) serta menguji ketepatan hasil pemodelan pembalikan produksi (15 menit).
• Murid menuliskan satu kesimpulan reflektif tentang efisiensi penggunaan model fungsi invers dalam perencanaan bahan baku industri (10 menit).

Penutup:

• Guru bersama murid menyimpulkan tahapan memodelkan pembalikan masalah produksi menggunakan fungsi invers: mendefinisikan variabel, menentukan model langsung, menurunkan fungsi invers, dan menghitung variabel asal (5 menit).
• Guru memberikan penguatan terhadap proses pemodelan mandiri dan menginformasikan bahwa pertemuan berikutnya adalah asesmen sumatif bab (5 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Murid yang membutuhkan bimbingan diberikan panduan aljabar bertahap (tabel transisi input-output), sedangkan murid yang lebih cepat diberikan skenario fungsi produksi pecahan linear y = (ax + b)/(cx + d).
• Proses: Penyelesaian masalah dilakukan melalui kerja berpasangan pada tahap pemodelan awal dan mandiri pada tahap pemodelan lanjutan.
• Produk: Format penyelesaian dapat ditulis dalam urutan persamaan aljabar vertikal atau bagan pemodelan alur mesin fungsi terbalik.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Tes tertulis 2 butir diagnostik: (1) Tentukan f⁻¹(x) jika f(x) = 4x + 10; (2) Makna f⁻¹(50) jika f(x) memetakan kain x (meter) menjadi baju (unit). (Acuan: (1) y = 4x + 10 -> x = (y - 10)/4 sehingga f⁻¹(x) = (x - 10)/4; (2) f⁻¹(50) adalah panjang kain dalam meter yang dibutuhkan untuk memproduksi 50 unit baju).

Proses:

• Penilaian lembar tantangan pasangan 2 skenario: Skenario A (Acuan: f⁻¹(d) = (d - 12)/8, untuk d = 100 maka t = (100 - 12)/8 = 88/8 = 11 kg tepung); Skenario B (Acuan: g⁻¹(s) = (s + 6)/3, untuk s = 45 maka k = (45 + 6)/3 = 51/3 = 17 lembar kulit). Kriteria: tepat merumuskan fungsi invers dan tepat menghitung nilai bahan baku.

Akhir Pertemuan:

• Cek pemahaman mandiri 1 butir: Pabrik kemasan dengan model kotak y = h(x) = 2x - 5 (x >= 3). Susun model fungsi invers x = h⁻¹(y) dan tentukan jumlah karton x jika y = 55 kotak. (Acuan: Rumus invers h⁻¹(y) = (y + 5)/2; untuk target y = 55 maka x = (55 + 5)/2 = 60/2 = 30 lembar karton).

Formatif:

• Penilaian tes diagnostik awal di pendahuluan
• Observasi unjuk kerja saat menyelesaikan lembar pemodelan berpasangan
• Pemeriksaan lembar kerja pemodelan lanjutan mandiri

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alur pemodelan dari masalah produksi ke fungsi invers mudah dipahami oleh sebagian besar murid?
• Bagaimana keterlibatan murid selama pengerjaan tantangan berpasangan?

Murid:

• Bagian mana dari langkah menyusun rumus fungsi invers dalam masalah produksi yang menurut saya paling menantang?
• Bagaimana konsep fungsi invers membantu saya memahami cara kerja perencanaan bahan baku di dunia industri?

Pertemuan 10 — Asesmen Sumatif Bab — 3 JP (3 x 45 menit = 135 menit)

Tujuan Pertemuan:

• TP 11.1.1 Menentukan komposisi fungsi menggunakan fungsi yang sesuai
• TP 11.1.2 Menentukan fungsi invers menggunakan fungsi yang sesuai
• TP 11.1.3 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan komposisi fungsi
• TP 11.1.4 Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi invers

Pendahuluan:

• Guru membuka sesi asesmen dengan salam, mengecek kehadiran, mengondisikan ruang kelas agar tertib dan tenang untuk pelaksanaan asesmen sumatif, serta mengajak murid berdoa secara hening (5 menit).
• Guru menyampaikan tujuan dan mekanisme asesmen sumatif bab yang terdiri atas dua bagian: Bagian 1 pengerjaan penyelesaian aljabar terstruktur dan Bagian 2 penugasan pemecahan masalah kontekstual, serta menegaskan pentingnya kejujuran dan kemandirian (5 menit).

Kegiatan Inti:

Memahami (Berkesadaran):

• Guru membagikan naskah Asesmen Sumatif Bagian 1 kepada kelompok murid, lalu murid menyimak penjelasan aturan pengerjaan, batasan waktu 50 menit, serta memastikan setiap anggota kelompok memahami instruksi lembar kerja tanpa ada kekeliruan teknis (5 menit).

Mengaplikasi (Bermakna):

• Murid mengerjakan Tugas Bagian 1 (Penyelesaian Aljabar Terstruktur, alokasi 50 menit) secara kelompok: Soal 1a: Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x^2 - 4, tentukan (g o f)(x) beserta daerah asalnya. (Kunci: (g o f)(x) = (2x + 3)^2 - 4 = 4x^2 + 12x + 5, daerah asal D_(g o f) = {x | x in R}). Soal 1b: Diketahui f(x) = 3x - 5, tentukan rumus fungsi invers f^(-1)(x). (Kunci: Misalkan y = 3x - 5 -> 3x = y + 5 -> x = (y + 5)/3, sehingga f^(-1)(x) = (x + 5)/3). Soal 1c: Diketahui f(x) = x^2 - 6x + 8 dengan domain pembatasan x >= 3, tentukan f^(-1)(x). (Kunci: y = (x - 3)^2 - 1 -> (x - 3)^2 = y + 1 -> x - 3 = sqrt(y + 1) karena x >= 3 -> x = 3 + sqrt(y + 1), maka f^(-1)(x) = 3 + sqrt(x + 1) dengan domain x >= -1) (50 menit).
• Guru mengumpulkan lembar jawaban Tugas Bagian 1, lalu membagikan naskah Tugas Bagian 2 (Penugasan Pemecahan Masalah Tertulis) kepada kelompok murid serta memberikan arahan singkat waktu pengerjaan selama 60 menit (5 menit).
• Murid mengerjakan Tugas Bagian 2 (Pemecahan Masalah dan Pemodelan Matematika, alokasi 55 menit) secara kelompok: Soal 2a (Komposisi Fungsi): Suatu proses produksi tepung terigu melalui dua mesin. Mesin I mengubah gandum (x ton) menjadi bahan setengah jadi (y ton) dengan rumus y = f(x) = 0,8x - 2. Mesin II mengolah bahan setengah jadi menjadi tepung terigu (z ton) dengan rumus z = g(y) = 0,9y - 1. Tentukan rumus model komposisi produksi terigu dari gandum (g o f)(x) dan hitung hasil tepung jika gandum yang dimasukkan 50 ton! (Kunci: Model komposisi: (g o f)(x) = 0,9(0,8x - 2) - 1 = 0,72x - 1,8 - 1 = 0,72x - 2,8; untuk x = 50: (g o f)(50) = 0,72(50) - 2,8 = 36 - 2,8 = 33,2 ton tepung terigu). Soal 2b (Fungsi Invers): Biaya pemesanan katering dinyatakan dengan fungsi C(x) = 45.000x + 150.000, dengan x adalah jumlah porsi makanan dan C(x) total biaya dalam rupiah. Tentukan fungsi invers C^(-1)(C) untuk memodelkan jumlah porsi berdasarkan anggaran yang tersedia, dan hitung berapa porsi makanan yang diperoleh jika panitia memiliki anggaran total Rp3.750.000! (Kunci: Misalkan C = 45.000x + 150.000 -> 45.000x = C - 150.000 -> x = (C - 150.000)/45.000, sehingga model invers: C^(-1)(C) = (C - 150.000)/45.000; untuk anggaran C = 3.750.000: C^(-1)(3.750.000) = (3.750.000 - 150.000)/45.000 = 3.600.000/45.000 = 80 porsi makanan) (55 menit).

Merefleksi (Berkesadaran):

• Guru mengumpulkan seluruh lembar jawaban Tugas Bagian 2, lalu mengajak murid melakukan refleksi metakognitif singkat secara mandiri mengenai proses berpikir aljabar dan strategi pemodelan yang telah diterapkan selama menyelesaikan soal sumatif (5 menit).

Penutup:

• Guru memberikan apresiasi atas kedisiplinan dan kerja keras murid dalam menuntaskan asesmen sumatif Bab 1, serta menyampaikan gambaran umum tahapan koreksi dan umpan balik hasil asesmen yang akan diberikan (3 menit).
• Guru bersama murid menutup pertemuan dan rangkaian pembelajaran Bab 1 dengan doa penutup dan salam (2 menit).

Diferensiasi:

• Konten: Akomodasi format lembar soal dengan kejelasan tipografi teks dan ukuran font yang memadai bagi murid yang membutuhkan tanpa mengubah bobot kompetensi matematika yang diuji.
• Proses: Pemberian penegasan instruksi lisan di awal bagi kelompok yang memerlukan klarifikasi alur pengerjaan tanpa memberikan petunjuk substansi jawaban matematika.
• Produk: Format lembar jawaban terstruktur dengan ruang penyelesaian matematis yang cukup lapang untuk memudahkan perincian langkah aljabar murid.

Asesmen Pertemuan:

Awal:

• Pengecekan kesiapan teknis pelaksanaan asesmen dan verifikasi kelengkapan alat tulis serta pemahaman petunjuk tes tertulis sebelum naskah soal dikerjakan.

Proses:

• Pemantauan keterlibatan murid dalam pengerjaan tugas secara tertib, kepatuhan terhadap alokasi waktu per bagian soal, dan kepatuhan terhadap aturan asesmen.

Sumatif Bab:

• tes tertulis terpadu pemecahan masalah dan pemodelan aljabar: lembar jawaban asesmen sumatif yang memuat penyelesaian aljabar komposisi dan invers fungsi beserta perumusan model matematika dan interpretasi solusi dari masalah situasi nyata
• tes tertulis serentak: lembar penyelesaian aljabar terstruktur yang menunjukkan langkah penentuan komposisi fungsi beserta daerah asalnya dan penentuan fungsi invers dari fungsi yang diberikan secara tepat (60 menit; kelompok; instrumen: kunci jawaban dan rubrik penskoran analitik)
• penugasan pemecahan masalah tertulis serentak: lembar pemecahan masalah kontekstual yang memuat perumusan model matematika berbasis komposisi fungsi dan fungsi invers (proses pembalikan) beserta kalkulasi dan interpretasi solusinya (75 menit; kelompok; instrumen: rubrik pemecahan masalah dan pemodelan matematika)

Sumatif:

• tes tertulis terpadu pemecahan masalah dan pemodelan aljabar: lembar jawaban asesmen sumatif yang memuat penyelesaian aljabar komposisi dan invers fungsi beserta perumusan model matematika dan interpretasi solusi dari masalah situasi nyata
• tes tertulis serentak: lembar penyelesaian aljabar terstruktur yang menunjukkan langkah penentuan komposisi fungsi beserta daerah asalnya dan penentuan fungsi invers dari fungsi yang diberikan secara tepat (60 menit; kelompok; instrumen: kunci jawaban dan rubrik penskoran analitik)
• penugasan pemecahan masalah tertulis serentak: lembar pemecahan masalah kontekstual yang memuat perumusan model matematika berbasis komposisi fungsi dan fungsi invers (proses pembalikan) beserta kalkulasi dan interpretasi solusinya (75 menit; kelompok; instrumen: rubrik pemecahan masalah dan pemodelan matematika)

Rubrik Pertemuan:

Refleksi Pertemuan:

Guru:

• Apakah alokasi waktu yang disediakan pada masing-masing bagian asesmen sumatif cukup bagi murid untuk menunjukkan kompetensi maksimalnya?
• Bagian soal mana yang paling banyak menunjukkan tantangan pemahaman aljabar atau pemodelan kontekstual bagi murid?
• Bagaimana ketercapaian seluruh TP pada Bab 1 ini menjadi dasar perencanaan pembelajaran tindak lanjut atau materi bab berikutnya?

Murid:

• Bagian mana dari soal asesmen sumatif tadi yang paling menantang bagi saya, dan bagaimana strategi aljabar yang saya gunakan untuk mengatasinya?
• Apakah saya sudah merasa yakin dalam menerjemahkan masalah cerita kehidupan sehari-hari ke dalam model komposisi fungsi dan fungsi invers?

SUMBER BELAJAR

1. Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, 2021
2. Buku Siswa Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi, 2021
3. Lembar Aktivitas Siswa: Komposisi Fungsi Linear
4. Papan tulis, spidol, dan alat tulis
5. Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kemendikbudristek 2021
6. Buku Siswa Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kemendikbudristek 2021
7. Lembar Kerja Murid (Kartu Soal Tantangan Berpasangan dan Latihan Mandiri)
8. Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kemendikbudristek 2021, Bab 1 Subbab B (Komposisi Fungsi)
9. Buku Teks Siswa Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kemendikbudristek 2021, Latihan 1.4 dan Eksplorasi 1.5
10. Lembar Kerja Siswa (LKS) Tantangan Berpasangan 'Rally Hitung Asosiatif'
11. Papan tulis dan spidol
12. Lembar Kerja Murid (LKPD) 'Tantangan Belanja Bertahap'
13. Kalkulator/alat tulis
14. Lembar Kerja Murid (LKPD) Pemodelan Produksi Dua Tahap
15. Papan tulis, spidol, dan kartu skenario simulasi industri
16. Lembar Kerja Murid (Latihan Mandiri Fungsi Invers Linear)
17. Set Kartu Tantangan Mesin Mundur
18. Aplikasi GeoGebra (visualisasi grafik fungsi kuadrat dan inversnya)
19. Lembar Kerja Murid: Penentuan Invers Fungsi Kuadrat
20. Lembar Kerja Murid (LKPD) Konversi Satuan dan Pemodelan Harga
21. Papan tulis/spidol dan kalkulator hitung dasar
22. Lembar Kerja Siswa: Pemodelan Pembalikan Produksi dengan Fungsi Invers
23. Buku Panduan Guru Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia, 2021
24. Buku Siswa Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia, 2021
25. Naskah Soal Asesmen Sumatif Bab 1 (Bagian 1: Aljabar Terstruktur dan Bagian 2: Pemecahan Masalah)
26. Kunci Jawaban dan Rubrik Penskoran Analitik Asesmen Sumatif Bab 1