LKPD Matematika Kelas 11: Memodelkan Situasi Pembalikan Masalah Produksi Menggunakan Fungsi Invers

INFORMASI UMUM

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan fungsi invers

PETUNJUK UMUM

• Bacalah pengantar masalah konteks produksi dengan teliti bersama kelompokmu.
• Gunakan alur pemikiran terbalik (invers) untuk mengonstruksi model matematika dari output kembali ke input.
• Tuliskan proses pemodelan, penetapan variabel, serta interpretasi model pada ruang jawaban yang telah disediakan.

KEGIATAN

Kegiatan 1: Eksplorasi Alur Produksi: Membalik Arah Mesin Pemrosesan

Estimasi: 35 menit

Alat & Bahan:

• Alat tulis
• Kalkulator (opsional)

Petunjuk Pengerjaan:

1. Perhatikan skenario produksi keripik singkong: Bahan baku singkong bersih seberat x kg diproses melalui pemotongan dan penggorengan. Setiap 1 kg singkong bersih menghasilkan 0,6 kg keripik matang, kemudian dikemas dengan penambahan bumbu tabur seberat total 2 kg untuk seluruh batch.
2. Identifikasi variabel input dan output dari proses produksi awal.
3. Susunlah model matematika fungsi maju yang menyatakan berat total hasil keripik berbumbu y terhadap berat bahan baku singkong x.
4. Lakukan proses aljabar pembalikan untuk memodelkan kebutuhan bahan baku singkong x jika diketahui target hasil akhir keripik y.

Pertanyaan:

1. Jika x adalah berat bahan baku singkong bersih (dalam kg) dan y = f(x) adalah berat total keripik siap jual (dalam kg), tuliskan rumus fungsi f(x).

2. Turunkan persamaan x dalam bentuk fungsi dari y untuk memodelkan situasi pembalikan kebutuhan bahan baku singkong, lalu tuliskan rumus fungsi invers f⁻¹(y).

3. Jika pabrik menerima pesanan sebanyak 50 kg keripik siap jual, hitung berapa kg bahan baku singkong bersih yang harus disiapkan menggunakan model fungsi invers tersebut.

Tuliskan jawaban pada lembar kerja: Kotak 1 untuk penentuan variabel dan rumus fungsi f(x); Kotak 2 untuk langkah aljabar penurunan rumus f⁻¹(y); Kotak 3 untuk substitusi nilai y = 50 kg dan hasil perhitungan berat bahan baku.

Kegiatan 2: Memodelkan Pembalikan Biaya dan Target Produksi Dua Tahap

Estimasi: 45 menit

Alat & Bahan:

• Alat tulis
• Kertas berpetak/lembar kerja

Petunjuk Pengerjaan:

1. Cermati skenario industri garmen: Sebuah konveksi memproduksi kemeja. Biaya produksi total C (dalam ratus ribu rupiah) untuk memproduksi kemeja sebanyak x unit dimodelkan dengan fungsi: C(x) = 1,5x + 30, di mana 30 adalah biaya operasional tetap dan 1,5 adalah biaya variabel per unit.
2. Manajemen menetapkan anggaran biaya dan ingin mengetahui batas unit kemeja yang dapat diproduksi.
3. Susunlah model fungsi invers yang menyatakan banyak unit kemeja yang dapat diproduksi x sebagai fungsi dari total anggaran biaya C.
4. Lengkapi tabel analisis target produksi pada ruang jawaban berdasarkan variasi anggaran yang tersedia.

Pertanyaan:

1. Berdasarkan fungsi biaya C(x) = 1,5x + 30, buatlah model fungsi invers x = C⁻¹(C) yang menyatakan jumlah kemeja yang dapat diproduksi berdasarkan ketersediaan biaya C.

2. Lengkapi tabel target produksi kemeja berikut menggunakan model invers yang telah ditemukan:

• Baris 1: Anggaran Biaya C = 60 (ratus ribu rupiah) -> Banyak kemeja x = ...
• Baris 2: Anggaran Biaya C = 105 (ratus ribu rupiah) -> Banyak kemeja x = ...
• Baris 3: Anggaran Biaya C = 180 (ratus ribu rupiah) -> Banyak kemeja x = ...

Gunakan format tabel 3 kolom: Kolom 1 (Anggaran Biaya C dalam Ratus Ribu Rupiah), Kolom 2 (Substitusi ke Model Invers C⁻¹(C)), Kolom 3 (Jumlah Produksi Kemeja x dalam Unit).

Kegiatan 3: Investigasi dan Formulasi Model Pembalikan Masalah Produksi Nyata

Estimasi: 55 menit

Alat & Bahan:

• Lembar kerja kelompok
• Papan tulis kecil/kertas plano (opsional untuk presentasi)

Petunjuk Pengerjaan:

1. Bekerjalah dalam kelompok untuk menyelesaikan studi kasus industri pembuatan jus buah kemasan.
2. Konteks: Mesin pemeras buah menghasilkan volume sari buah murni V (dalam liter) dari buah apel seberat b kg melalui fungsi linear V = 0,75b - 5 (karena ada 5 liter ampas/sisa serat awal yang tertahan pada filter mesin). Sari buah tersebut kemudian dikemas ke dalam botol kecil bervolume 0,25 liter sehingga jumlah botol jus yang dihasilkan adalah N(V) = 4V.
3. Susun fungsi komposisi total N(b) yang menyatakan jumlah botol terhadap berat buah apel b.
4. Modelkan fungsi invers N⁻¹ untuk menentukan berat buah apel b yang harus dibeli jika perusahaan menargetkan produksi sebanyak N botol jus.
5. Lakukan verifikasi dan diskusikan batasan praktis dari domain dan kodomain pada model invers tersebut.

Pertanyaan:

1. Tentukan fungsi komposisi N(b) yang menyatakan jumlah botol jus yang dihasilkan dari bahan baku buah apel seberat b kg.

2. Turunkan model fungsi invers N⁻¹(N) yang menyatakan kebutuhan bahan baku apel b (dalam kg) berdasarkan target produksi jumlah botol jus N.

3. Diskusikan bersama kelompok: Jika distributor memesan 1.000 botol jus, berapa kg apel yang dibutuhkan? Serta jelaskan apa syarat nilai N minimum pada model invers tersebut agar masuk akal dalam situasi nyata.

Tuliskan langkah penurunan komposisi fungsi, langkah pembentukan fungsi invers, perhitungan kebutuhan bahan baku untuk 1.000 botol, serta paragraf hasil diskusi kelompok mengenai batas nilai variabel pada kolom refleksi diskusi.

REFLEKSI

1. Bagaimana pemodelan fungsi invers membantu pelaku usaha atau pabrik dalam merencanakan kebutuhan bahan baku secara efisien?

2. Langkah pemodelan aljabar mana yang paling menantang saat mengubah fungsi maju menjadi fungsi invers dalam masalah produksi nyata?

3. Situasi dunia nyata apa lagi di sekitarmu yang membutuhkan pemodelan fungsi secara terbalik (invers)?