LKPD Matematika Kelas 11: Memodelkan Situasi Produksi Dua Tahap Menggunakan Komposisi Fungsi Linear dan Kuadrat

INFORMASI UMUM

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Memodelkan situasi dunia nyata menggunakan komposisi fungsi

PETUNJUK UMUM

• Bacalah setiap stimulus konteks produksi bertahap dengan saksama bersama kelompokmu.
• Tentukan variabel input, variabel perantara, dan variabel output sebelum menyusun model fungsi.
• Susun formula komposisi fungsi secara terstruktur menggunakan aturan aljabar yang tepat.
• Gunakan model fungsi yang kalian temukan untuk menghitung hasil produksi akhir sesuai skenario yang diberikan.
• Tanyakan kepada guru apabila terdapat instruksi yang belum dipahami.

KEGIATAN

Kegiatan 1: Eksplorasi Model Produksi Tepung Beras Dua Tahap (Linear ke Linear)

Estimasi: 40 menit

Alat & Bahan:

• Alat tulis
• Kertas buram/kalkulator sederhana

Petunjuk Pengerjaan:

1. Cermati skenario: Sebuah pabrik mengolah beras (x dalam ton) menjadi tepung beras melalui dua mesin.
2. Mesin I mengubah beras menjadi tepung kasar m dengan fungsi m = f(x) = 0,8x - 0,5.
3. Mesin II mengolah tepung kasar m menjadi tepung halus y dengan fungsi y = g(m) = 0,9m - 0,2.
4. Diskusikan bersama kelompok bagaimana mengaitkan kedua rumus tersebut menjadi satu model fungsi langsung dari bahan baku beras x ke produk akhir tepung halus y.
5. Tuliskan proses substitusi fungsi dan hitung hasilnya pada ruang jawaban yang disediakan.

Pertanyaan:

1. Berdasarkan skenario produksi di atas, tuliskan model matematika fungsi komposisi (g ∘ f)(x) yang menyatakan hasil tepung halus y langsung dari bahan baku beras x!

2. Jika pabrik menyediakan bahan baku beras sebanyak 50 ton pada suatu hari produksi, gunakan model komposisi fungsi yang telah diperoleh pada nomor 1 untuk menentukan total tepung halus yang dihasilkan (dalam ton)!

Tuliskan langkah aljabar substitusi rumus fungsi secara runut pada kolom bergaris, lalu tuliskan kesimpulan akhir model fungsi dan hasil perhitungan numeriknya.

Kegiatan 2: Memodelkan Efisiensi Pengolahan Pupuk Organik (Linear dan Kuadrat)

Estimasi: 50 menit

Alat & Bahan:

• Alat tulis
• Kalkulator

Petunjuk Pengerjaan:

1. Cermati skenario: Pabrik pupuk mengolah limbah kotoran ternak (x dalam kuintal) menjadi pupuk siap kemas melalui dua tahap pemrosesan.
2. Tahap 1 (Fermentasi): Mengubah limbah ternak x menjadi bahan setengah jadi p dengan fungsi linear p = f(x) = 2x + 3.
3. Tahap 2 (Pengayaan Nutrisi dan Pengeringan): Mengolah bahan p menjadi pupuk jadi K (dalam kemasan sak) dengan fungsi kuadrat K = g(p) = p^2 - 4p + 10.
4. Analisis hubungan kedua tahap tersebut dan rumuskan model fungsi komposisi yang menyatakan banyak kemasan pupuk K sebagai fungsi dari x.
5. Lengkapi tabel evaluasi nilai output untuk beberapa kuantitas bahan baku.

Pertanyaan:

1. Tentukan rumus komposisi fungsi (g ∘ f)(x) dalam bentuk kuadrat ax^2 + bx + c yang memodelkan jumlah sak pupuk K langsung dari limbah ternak x!

2. Lengkapi tabel perhitungan produksi berikut untuk menentukan jumlah sak pupuk yang dihasilkan jika bahan baku limbah ternak x berturut-turut adalah 5 kuintal, 10 kuintal, dan 15 kuintal!

Gunakan area penjabaran aljabar kuadrat untuk nomor 1. Untuk nomor 2, isi tabel dengan 3 kolom: 'Bahan Baku x (kuintal)', 'Proses Substitusi Fungsi (g ∘ f)(x)', dan 'Output Pupuk K (sak)'.

Kegiatan 3: Investigasi dan Perbandingan Model Urutan Tahap Produksi

Estimasi: 45 menit

Alat & Bahan:

• Alat tulis
• Lembar kerja LKPD

Petunjuk Pengerjaan:

1. Perhatikan industri daur ulang plastik yang memiliki dua unit mesin: Mesin Pembersih & Pencacah A(x) = x - 4, dan Mesin Pelebur & Pencetak B(x) = 2x^2 + 5, di mana x adalah berat plastik kotor dalam kg.
2. Secara teknis operasional, pabrik wajib melakukan pembersihan dan pencacahan terlebih dahulu sebelum dimasukkan ke mesin peleburan.
3. Susun model matematika untuk urutan proses yang benar yaitu (B ∘ A)(x).
4. Sebagai bentuk investigasi kritis matematika, susun pula model urutan sebaliknya yaitu (A ∘ B)(x).
5. Bandingkan kedua formula hasil pemodelan dan berikan simpulan matematis terkait sifat urutan pemodelan komposisi fungsi pada sistem produksi nyata.
6. Selesaikan kegiatan ini bersamaan dengan pengisian lembar refleksi dan penutupan pembelajaran.

Pertanyaan:

1. Tuliskan model fungsi komposisi untuk urutan operasional pabrik yang sah (B ∘ A)(x) dan model untuk urutan sebaliknya (A ∘ B)(x)!

2. Berdasarkan perbandingan rumus model pada nomor 1, jelaskan mengapa dalam memodelkan situasi dunia nyata urutan operasi fungsi tidak boleh tertukar (kaitkan dengan kesamaan fungsi (B ∘ A)(x) dan (A ∘ B)(x))!

Tuliskan perbandingan kedua bentuk rumus fungsi komposisi secara berdampingan (2 kolom), kemudian tuliskan paragraf penjelasan hasil diskusi di bawahnya.

REFLEKSI

1. Bagian mana dari langkah menyusun model komposisi fungsi (menentukan variabel perantara, substitusi aljabar, atau penyederhanaan bentuk kuadrat) yang paling menantang bagimu, dan bagaimana kamu mengatasinya?

2. Bagaimana pemahaman tentang urutan komposisi fungsi membantumu menyadari pentingnya tahapan sistematis dalam proses produksi atau pemecahan masalah sehari-hari?